همان تصمیم را با دو واحدِ متفاوت می‌سنجیم
در خواندنِ ساختار تورنمنت دیدیم که چیپ و جایزه یکی نیستند. پرسشِ بعدی این است: آیا تصمیمی که میانگینِ چیپ را بیشتر می‌کند، میانگینِ جایزه را هم بیشتر می‌کند؟ پاسخ الزاماً مثبت نیست.
ارزش مورد انتظارِ چیپ یا Chip EV میانگین مقدار چیپ در حالت‌های ممکن را می‌سنجد. ارزش مورد انتظارِ جایزه همین حالت‌ها را بر اساس جایزهٔ رتبه‌های پایانی می‌سنجد. اولی را با واحد چیپ بیان می‌کنیم و دومی را با واحد جایزه؛ هیچ‌کدام نتیجهٔ یک دست یا یک تورنمنت را تضمین نمی‌کند.
این با سهمِ مورد انتظار از یک پات هم فرق دارد. مثلاً احتمال بردن یک دست، همان احتمال قهرمانی در کل تورنمنت نیست. پات‌آدز قیمتِ کالِ داخلِ دست را روشن می‌کند، اما به‌تنهایی ارزشِ جایزهٔ استک‌های بعد از آن را مشخص نمی‌کند.
ICM از استک‌ها و جدولِ جایزه یک تخمین می‌سازد
مدل مستقل چیپ، یا Independent Chip Model (ICM)، احتمال اول‌شدن هر نفر را برابر با سهم او از کل چیپ‌ها فرض می‌کند. برای محاسبهٔ رتبهٔ بعد، هر بازیکن را یک‌بار برنده فرض می‌کند، چیپ‌های او را در محاسبه کنار می‌گذارد و سهم دیگران را از چیپ‌های باقی‌مانده دوباره حساب می‌کند. این کنارگذاشتن فقط بخشی از روش محاسبه است و در بازی واقعی اتفاق نمی‌افتد.
سپس احتمالِ هر رتبه در جایزهٔ همان رتبه ضرب و حاصل‌ها جمع می‌شوند. عددِ نهایی ارزشِ مورد انتظار در همین مدل است؛ نه موجودیِ قابل‌برداشت، قیمتِ قطعیِ فروشِ چیپ یا پیش‌بینیِ دقیقِ رتبهٔ شخص.
نسخهٔ پایهٔ مدل تفاوتِ مهارت، موقعیت بازیکن سر میز، زمانِ رسیدنِ بلایند و روندِ دست‌های آینده را جدا وارد نمی‌کند. بنابراین سهمِ ۳۰٪ از چیپ‌ها، در این مدل احتمالِ ۳۰٪ برای قهرمانی می‌دهد؛ اما از روی آن نمی‌توان شانسِ واقعیِ یک بازیکنِ مشخص را ثابت کرد.
سه استکِ برابر و فقط دو جایزه
فرض‌های مثال
سه نفر، الف و ب و ج، هر کدام ۱۰٬۰۰۰ چیپ دارند؛ مجموع ۳۰٬۰۰۰ است. جایزهٔ اول ۹۰، دوم ۶۰ و سوم صفر واحدِ پولِ فرضی است. ثبت‌نام بسته است؛ ورودِ دوباره، بانتی، توافقِ تقسیمِ جایزه یا هزینهٔ تازه نداریم. این‌ها عددهای آموزشی‌اند، نه شرایطِ یک مسابقهٔ واقعی.
برای محاسبه، استک‌های پایان دست را در نظر می‌گیریم؛ زمانی که پاتی برای تقسیم باقی نمانده است. هزینهٔ ورودِ قبلی در دو وضعیتی که مقایسه می‌کنیم یکسان است؛ اینجا ارزش مورد انتظارِ جایزه را می‌سنجیم، نه سود خالصِ شرکت در مسابقه. برای تمرین لازم نیست وارد مسابقه شوید.
با سه استکِ برابر، مدل برای هر نفر احتمالِ یک‌سوم در هر رتبه می‌دهد. پس ارزشِ اولیهٔ هر نفر (۹۰ + ۶۰ + ۰) ÷ ۳ = ۵۰ است. سه نفر برای دو جایزه باقی مانده‌اند؛ با حذف یک نفر، دو نفر دیگر به جایزه می‌رسند. این وضعیت در مثال ما «حباب» نام دارد. عددِ ۵۰ تضمینِ دریافتِ حداقلِ ۵۰ نیست: یک نفر با جایزهٔ صفر حذف می‌شود.
حالا فرض کنید الف تمامِ ۱۰٬۰۰۰ چیپِ ب را بگیرد و ب به‌تنهایی سوم شود. الف ۲۰٬۰۰۰ دارد و ج هنوز ۱۰٬۰۰۰. احتمالِ اول‌شدنِ الف در مدل دوسوم است و احتمالِ دوم‌شدنش یک‌سوم؛ بنابراین:
(۲/۳ × ۹۰) + (۱/۳ × ۶۰) = ۸۰
چیپ الف دو برابر شده، اما ارزش مورد انتظارِ جایزه در مدل از ۵۰ به ۸۰ رسیده است، نه ۱۰۰.
| حالت | چیپِ الف | ارزشِ جایزه |
|---|---|---|
| پیش از انتقال | ۱۰٬۰۰۰ | ۵۰ |
| الف چیپ‌های ب را می‌گیرد | ۲۰٬۰۰۰ | ۸۰ |
| ب چیپ‌های الف را می‌گیرد | ۰ | ۰ |
در حالتِ بردِ الف، ارزشِ ج برابرِ (۱/۳ × ۹۰) + (۲/۳ × ۶۰) = ۷۰ است. مجموع هنوز ۸۰ + ۷۰ + ۰ = ۱۵۰ می‌ماند. بدون اینکه ج چیپ بیشتری گرفته باشد، ارزش جایزهٔ او در مدل از ۵۰ به ۷۰ رسیده است؛ چون با حذف یک نفر، رسیدن او به یکی از دو جایزه قطعی شده است. اگر ب برندهٔ همین انتقال باشد نیز ارزشِ ج ۷۰ می‌شود.
چطور با شانسِ ۵۵٪، میانگین چیپ بیشتر و ارزش مورد انتظار جایزه کمتر می‌شود؟
برای جداکردنِ اثرِ جایزه، یک مقایسهٔ ریاضیِ ساده می‌سازیم، نه یک موقعیتِ واقعیِ کال. حالتِ مرجع، همان سه استکِ ۱۰٬۰۰۰ و ارزشِ ۵۰ است. در گزینهٔ دیگر، تمامِ چیپ‌های الف یا به ب می‌رسد، یا برعکس؛ ج در انتقال شرکت نمی‌کند. مساوی، پاتِ قبلی و پرداختِ بلایند و آنتی در این مقایسه نداریم.
فرض کنید احتمالِ بردِ الف در این انتقال ۵۵٪ و باخت ۴۵٪ باشد. این احتمال ورودیِ فرضیِ مسئله است؛ ICM آن را از روی کارت‌ها حساب نکرده است. میانگینِ چیپ ۰٫۵۵ × ۲۰٬۰۰۰ + ۰٫۴۵ × ۰ = ۱۱٬۰۰۰ می‌شود؛ ۱٬۰۰۰ بیشتر از حالتِ مرجع.
اما میانگینِ ارزشِ جایزه ۰٫۵۵ × ۸۰ + ۰٫۴۵ × ۰ = ۴۴ است؛ ۶ واحد کمتر از ۵۰. در این مدل، افزایش میانگین چیپ برای جبران پیامد حذف کافی نبوده است.
| شانسِ برد | میانگینِ چیپ | میانگینِ ارزشِ جایزه |
|---|---|---|
| ۵۰٪ | ۱۰٬۰۰۰ | ۴۰ تغییر: −۱۰ |
| ۵۵٪ | ۱۱٬۰۰۰ | ۴۴ تغییر: −۶ |
| ۶۲٫۵٪ | ۱۲٬۵۰۰ | ۵۰ تغییر: ۰ |
| ۷۰٪ | ۱۴٬۰۰۰ | ۵۶ تغییر: +۶ |
این میانگین‌ها نتیجهٔ قطعیِ یک بار انتقال نیستند. پس از انتقال، الف یا صفر چیپ دارد یا ۲۰٬۰۰۰؛ نه ۱۱٬۰۰۰. اگر برنده شود، در پایان تورنمنت یا ۶۰ واحد جایزه می‌گیرد یا ۹۰؛ هنوز نمی‌دانیم کدام. عدد ۸۰، برآورد مدل از ارزش مورد انتظارِ جایزه در آن مرحله است.
آستانهٔ ۶۲٫۵٪ فقط متعلق به همین مقایسه است
برای برابرشدنِ میانگینِ چیپ با ۱۰٬۰۰۰، شانسِ برد باید ۵۰٪ باشد. برای برابرشدنِ میانگینِ ارزشِ جایزه با ۵۰، باید ۵۰ ÷ ۸۰ = ۶۲٫۵٪ باشد. اختلافِ این دو، ۱۲٫۵ واحدِ درصد است؛ نه ۱۲٫۵٪ افزایشِ نسبی. این اختلاف، نمونه‌ای از «ریسک‌پریمیوم» است؛ یعنی برای حفظ ارزش مورد انتظارِ جایزه، احتمال برد بیشتری لازم داریم.
از این عدد، دستورِ «همهٔ کال‌های تورنمنت بالای ۶۲٫۵٪» نسازید. در دستِ واقعی، فولد ممکن است استکی متفاوت از حالتِ مرجعِ ما باقی بگذارد؛ پاتِ موجود، کارت‌ها و دامنهٔ حریف، تساوی و استک‌های دیگر هم نتیجه را تغییر می‌دهند. حتی روی حباب، فقط اسمِ مرحله پاسخِ کال، فولد یا رِیز را نمی‌دهد.
اگر جدول را عوض کنیم و تمامِ ۱۵۰ واحد فقط به نفرِ اول برسد، ارزشِ اولیهٔ الف ۵۰ و پس از بردِ انتقال ۱۰۰ است. آستانه دوباره ۵۰٪ می‌شود. پس اثرِ غیرخطیِ مثالِ دو جایزه را نمی‌توان به هر قالبی تعمیم داد.
وقتی فقط دو نفر با جوایزِ اولِ ۹۰ و دومِ ۶۰ مانده‌اند، مدل را می‌توان این‌طور نوشت: ۶۰ به‌اضافهٔ سهم بازیکن از کل چیپ‌ها، ضربدرِ اختلافِ ۳۰ واحدیِ دو جایزه. در این حالت رابطه با سهمِ چیپ خطی است؛ این به معنیِ حذفِ مفهومِ ICM یا توصیه به بازیِ بی‌محابا نیست.
برای مرورِ یک دست، اطلاعاتِ کافی جمع کنید
اگر می‌خواهید بعداً یک تصمیمِ تورنمنت را بررسی کنید، فقط کارت‌های خودتان و استک حریف کافی نیست. تعدادِ نفراتِ باقی‌مانده، استکِ همهٔ آن‌ها، جدولِ کاملِ جایزه، بلایند و آنتی، پات و ترتیبِ اقدام‌ها را ثبت کنید. استک‌های بیرون از میز هم در ارزشِ مدل‌شدهٔ رتبه‌ها سهم دارند.
ICM به‌تنهایی دامنهٔ حریف یا بهترین اقدام را پیدا نمی‌کند. فشارِ جایزه برای همهٔ استک‌ها یکسان نیست؛ استکِ بزرگ هم از پیامدِ باخت مصون نیست. کم‌بودن استک هم به‌تنهایی دلیلی برای بازی‌کردن هر دست یا فولدکردن همهٔ دست‌ها نیست. مقایسهٔ گزینه‌ها به وضعیتِ واقعی و فرض‌های روشن نیاز دارد.
در تورنمنت بانتی باید جایزهٔ حذف بازیکن را هم در مدل حساب کرد؛ مثال ما فقط بر پایهٔ رتبه‌هاست و این جایزه را ندارد. تورنمنت ساتلایت با جایزه‌های هم‌ارزش، یا وضعیتی همراه با توافق تقسیم جایزه و قواعد خاص را هم نمی‌توان با جدولِ ۹۰، ۶۰، صفر یکی دانست. عددهای این صفحه، چارتِ بازی یا خروجیِ حل‌کنندهٔ یک دستِ واقعی نیستند.
این تمرین برای فهمِ مدل است، نه وعدهٔ درآمد یا دلیلی برای ورودِ دوباره و جبرانِ باخت. برای یادگیری می‌توانید فقط روی کاغذ کار کنید. روشِ ثبت و مرورِ دست و راهنمای بازی مسئولانه برای ادامه در دسترس‌اند.
سه تمرین برای جداکردنِ چیپ و جایزه
ابتدا پاسخِ خودتان را بنویسید، سپس توضیح را باز کنید.
۱. الف با دو برابرکردنِ چیپ‌هایش، آیا ارزشِ مدل‌شدهٔ جایزه را هم دو برابر می‌کند؟
نه. چیپ از ۱۰٬۰۰۰ به ۲۰٬۰۰۰ می‌رسد، اما ارزشِ جایزه در مدل از ۵۰ به ۸۰ می‌رسد، نه ۱۰۰. جایزهٔ اول فقط ۹۰ است و بازیکن ج هم هنوز در رقابت حضور دارد.
۲. در انتقالِ فرضی با شانسِ بردِ ۵۵٪، میانگینِ چیپ و میانگینِ ارزشِ جایزه چه تغییری می‌کنند؟
میانگینِ چیپ ۱۱٬۰۰۰ است؛ یعنی ۱٬۰۰۰ بیشتر از حالتِ بدون انتقال. ولی میانگینِ ارزشِ جایزه ۴۴ است؛ یعنی ۶ کمتر از ۵۰. پس افزایشِ میانگینِ چیپ نسبت به حالتِ مرجع، به‌تنهایی افزایشِ میانگینِ ارزشِ جایزه را ثابت نمی‌کند. این دو میانگین، نتیجهٔ قطعیِ یک بارِ این انتقال نیستند.
۳. اگر فقط نفرِ اول تمامِ ۱۵۰ واحد را بگیرد، آستانهٔ همین مقایسه هنوز ۶۲٫۵٪ است؟
نه. با جدولِ ۱۵۰، صفر، صفر، ارزشِ اولیهٔ الف ۵۰ و ارزشِ پس از برد ۱۰۰ می‌شود؛ پس آستانهٔ جایزه ۵۰٪ است، مثل آستانهٔ محاسبه بر حسب چیپ. جدولِ جایزه عوض شده و نمی‌توان عددِ قبلی را نگه داشت.
منابع و ادامهٔ یادگیری
مقالهٔ جورج گیلبرت دربارهٔ ICM و ریسک‌گریزی، بخشِ ۳ (انگلیسی) تعریفِ بازگشتیِ احتمالِ رتبه‌ها را توضیح می‌دهد. مثالِ ۳۰٬۰۰۰ چیپ و جایزه‌های ۹۰ و ۶۰، جدول‌ها و تمرین‌ها برای این آموزش ساخته شده‌اند.
برای مطالعهٔ گسترده‌ترِ انگلیسی، راهنمای تورنمنت و ICM در دسترس است. برای تفسیرِ میانگین‌ها، نوسان و نتیجهٔ کوتاه‌مدت را بخوانید؛ میانگینِ مدل با نتیجهٔ هر بار اجرا فرق دارد.