پات فعلی معلوم است؛ پرداخت‌های بعدی هنوز معلوم نیستند
ایمپلاید آدز یا شانس ضمنی، یعنی هنگام ارزیابی کال، ژتون‌هایی را هم در نظر بگیریم که ممکن است در ادامه از حریف بگیریم. گاهی پات فعلی به‌تنهایی کال را توجیه نمی‌کند، اما دریافتِ بیشتر در حالت‌های برنده می‌تواند بخشی از این کمبود را جبران کند. این پرداخت هنوز اتفاق نیفتاده و با ژتون‌های موجود در پات فرق دارد.
پیش‌نیاز این درس، پات‌آدز و هزینهٔ کال است. اینجا یک قدم جلوتر می‌رویم: مبلغی را که خودمان پرداخته‌ایم از دریافتیِ حریف جدا می‌کنیم، بردهای بدون دریافتِ اضافه را هم می‌شماریم و بعد هزینهٔ باخت‌های گران‌تر را وارد حساب می‌کنیم.
از لحظهٔ تصمیم حساب کنید
یک مثال فرضی در ترن هولدم دونفره را در نظر بگیرید: پات ۶۰ ژتون است، حریف ۲۰ شرط می‌بندد و پاتِ پیش از کال شما به ۸۰ می‌رسد. هزینهٔ کال ۲۰ ژتون است و با کال، پات ۱۰۰ می‌شود. شما پیش از کال ۱۲۰ ژتون دارید و برای حریف پس از شرطش ۱۰۰ ژتون باقی مانده است؛ پس از کال شما، هر دو ۱۰۰ ژتون دارید.
برای اینکه فقط اثر پرداخت‌های آینده را ببینیم، احتمال برد را در این مدل ۱۵٪ فرض می‌کنیم. این عدد از کارت‌های واقعی یا تعداد اوت‌ها محاسبه نشده است. همهٔ نتیجه‌ها برد یا باخت‌اند، تساوی و ریک نداریم، و احتمال برد را در مقایسه‌های این درس ثابت نگه می‌داریم. این مدل، اثرِ وادارکردن حریف به فولد یا تغییر تصمیم‌های دو طرف را حساب نمی‌کند؛ از آن به‌تنهایی نمی‌توان برای انتخاب حرکت استفاده کرد.
در حالت پایه، هیچ‌یک از دو بازیکن پس از این کال ژتون دیگری وارد پات نمی‌کند. اگر ببرید، پات ۱۰۰ را می‌گیرید، اما ۲۰ ژتونِ آن کالِ تازهٔ خودتان است: نتیجهٔ خالصِ تصمیم ۱۰۰ − ۲۰ = ۸۰ ژتون است. اگر ببازید، نتیجه −۲۰ است. پرداخت‌های قبلی داخل پات‌اند؛ این حساب از لحظهٔ تصمیم شروع می‌شود و سود کل دست از ابتدای آن را نشان نمی‌دهد.
EV = ۰٫۱۵ × ۸۰ − ۰٫۸۵ × ۲۰ = −۵
EV یا ارزش مورد انتظار، میانگینِ نتیجه‌ها با درنظرگرفتن احتمال هر حالت است؛ نتیجهٔ هر حالت را در احتمال آن ضرب می‌کنیم و حاصل‌ها را جمع می‌کنیم. منفیِ ۵ ژتون به معنیِ باخت قطعیِ این مقدار در یک دست نیست. در همین مدل، فولد از لحظهٔ تصمیم پرداخت تازه‌ای ندارد؛ به همین دلیل، آن را مبنای مقایسهٔ صفر می‌گیریم.
پات ۱۸۰ ژتونی، سود ۱۸۰ ژتونی نیست
حالا فرض دیگری به همان مدل اضافه می‌کنیم: در حالت‌های برنده، شما و حریف هر کدام ۴۰ ژتون دیگر وارد پات می‌کنید؛ در حالت‌های بازنده، پس از کال هیچ پرداخت تازه‌ای ندارید. این تقسیم‌بندی برای مقایسهٔ نتیجه‌های مدل است؛ فرض نمی‌کنیم در بازی واقعی بتوانید نتیجهٔ دست را پیش از پرداخت تشخیص دهید.
- پات نهایی در بردها: ۱۰۰ + ۴۰ + ۴۰ = ۱۸۰.
- کل پرداخت تازهٔ شما از لحظهٔ تصمیم: ۲۰ + ۴۰ = ۶۰.
- نتیجهٔ خالصِ برد: ۱۸۰ − ۶۰ = ۱۲۰؛ همان ۸۰ + ۴۰ ژتون.
۴۰ ژتونِ خودتان که همراه پات برمی‌گردد، سود اضافه نیست. نسبت به حالت پایه فقط ۴۰ ژتونِ پرداختیِ حریف به نتیجهٔ برد افزوده شده است.
| فرض | برد | باخت | EV |
|---|---|---|---|
| بدون پرداخت بعدی | ۸۰ | −۲۰ | −۵ |
| ۴۰ ژتون در بردها | ۱۲۰ | −۲۰ | ۱ |
«برد» و «باخت» در جدول، نتیجهٔ خالص از لحظهٔ تصمیم‌اند. ردیف دوم از ۰٫۱۵ × ۱۲۰ − ۰٫۸۵ × ۲۰ = ۱ به دست می‌آید. مثبت‌شدن عدد به درستیِ فرض پرداخت وابسته است؛ هنوز هیچ چیزی دربارهٔ حریف واقعی ثابت نشده است.
بردهای بدون دریافتِ اضافه را هم حساب کنید
لازم نیست در همهٔ بردها دقیقاً ۴۰ ژتونِ دیگر بگیرید تا میانگینِ دریافتیِ اضافه در بردها ۴۰ شود. اگر در نیمی از بردها ۸۰ ژتون و در نیم دیگر هیچ ژتونِ اضافه‌ای از حریف بگیرید، این میانگین برابر است با ۰٫۵ × ۸۰ + ۰٫۵ × ۰ = ۴۰. بردِ بدون پرداخت را حذف نکنید.
برای روشن‌شدن تفاوت این دو میانگین، ۴۰ نتیجهٔ فرضی با همین وزن‌ها را روی کاغذ بنویسید: ۳ برد با دریافتِ ۸۰ ژتون دیگر، ۳ برد بدون دریافتِ اضافه و ۳۴ باختِ ۲۰ ژتونی. شش برد از چهل نتیجه همان ۱۵٪ است؛ جمعِ نتیجه‌ها ۳ × ۱۶۰ + ۳ × ۸۰ − ۳۴ × ۲۰ = ۴۰ و میانگین هر نتیجه یک ژتون می‌شود. این شمارش، نمایشِ وزن‌های مدل است؛ پیش‌بینی نمی‌کند در چهل دست بعدی دقیقاً شش بار برنده می‌شوید.
میانگینِ پرداخت اضافه به‌ازای هر برد ۴۰ است؛ سهم آن در میانگینِ همهٔ نتیجه‌ها فقط ۰٫۱۵ × ۴۰ = ۶ ژتون است. گذاشتنِ عدد ۶ به‌جای ۴۰ در فرمولِ برد، احتمال برد را دوباره اعمال می‌کند.
پرداخت لازم را با ژتونِ در دسترس اشتباه نگیرید
در مدل سادهٔ بالا، فرض کنید X میانگینِ پرداختِ اضافهٔ حریف در نتیجه‌های برنده باشد. برای سربه‌سرشدن:
۰٫۱۵ × (۸۰ + X) − ۰٫۸۵ × ۲۰ = ۰
پس X برابر با ۳۳ و یک‌سوم ژتون است؛ تقریباً ۳۳٫۳۳. می‌توان همان را از ۲۰ ÷ ۰٫۱۵ − ۱۰۰ به دست آورد. در این فرض‌ها، کمتر از این میانگین کمبود را جبران نمی‌کند. عددِ سربه‌سر نه اندازهٔ شرط پیشنهادی است، نه قولِ پرداخت حریف و نه مبلغی که باید در تک‌تک بردها دریافت شود.
در مثال اصلی، پس از کال هر دو ۱۰۰ ژتون دارید؛ این مقدار فقط نشان می‌دهد هر نفر حداکثر چقدر دیگر می‌تواند بپردازد. داشتنِ ۱۰۰ ژتون ثابت نمی‌کند حریف ۳۳ یا ۴۰ ژتون می‌پردازد. حالا یک وضعیت جدا با همان پات، کال و احتمال فرضی در نظر بگیرید، اما پس از کال فقط ۲۵ ژتونِ مؤثر باقی بماند. حتی با دریافتِ تمامِ ۲۵ ژتون در هر برد:
۰٫۱۵ × (۸۰ + ۲۵) − ۰٫۸۵ × ۲۰ = −۱٫۲۵
در این مدل، سقفِ موجود به میانگینِ لازم نمی‌رسد. منظور استک مؤثر پس از پرداختِ کال است، نه استک اولیه یا عدد بزرگ‌ترِ یکی از دو نفر. برای بازی چندنفره، پات جانبی یا تغییر مسیر دست، نمی‌توان همین مدل دونفره را بدون بررسی تفاوت‌ها به کار برد.
گاهی بهترشدن دست، باخت را گران‌تر می‌کند
ریورس ایمپلاید آدز به خطرِ پرداختِ بیشتر در ادامه، وقتی دست شما در نهایت بازنده است، اشاره دارد. برای مثال ممکن است فلاش بسازید، اما فلاشِ بالاترِ حریف برنده شود. کامل‌شدن یک ترکیب با بردن دست یکسان نیست؛ نباید هم فرض کنید که همیشه پیش از پرداخت، بازنده‌بودن دست را تشخیص می‌دهید.
به حالتِ دریافتِ ۴۰ ژتون در بردها برگردیم، اما این بار فرضِ «هیچ هزینهٔ بعدی در باخت‌ها» را کنار بگذاریم. برای نمایش احتمال‌ها، بیست حالت هم‌احتمال در نظر بگیرید: سه حالت برد، شانزده حالت باختِ ساده و یک حالت باخت با پرداختِ ۶۰ ژتون اضافه:
| نتیجه | از ۲۰ | خالص |
|---|---|---|
| برد، با دریافت ۴۰ ژتون دیگر | ۳ | ۱۲۰ |
| باخت، بدون پرداخت بعدی | ۱۶ | −۲۰ |
| باخت، با پرداخت ۶۰ ژتون دیگر | ۱ | −۸۰ |
یک حالت از این بیست حالت، ۵٪ از همهٔ نتیجه‌ها است، نه ۵٪ از باخت‌ها. هزینهٔ آن باخت از ۲۰ به ۸۰ می‌رسد. میانگین تازه:
(۳ × ۱۲۰ − ۱۶ × ۲۰ − ۱ × ۸۰) ÷ ۲۰ = −۲
در مدل قبلی، ارزش مورد انتظار مثبتِ یک ژتون بود؛ با اضافه‌شدن این هزینه، به منفیِ دو ژتون می‌رسد. تفاوت سه ژتون است: ۰٫۰۵ × ۶۰ = ۳. فقط دریافت‌های احتمالی را به حساب اضافه نکنید؛ پرداخت‌های محتملِ خودتان در نتیجه‌های بازنده نیز بخشی از همان تصمیم‌اند.
هنگام مرور دست، کدام فرض را باید زیر سؤال برد؟
- احتمالِ برد از کجا آمده؟ درصدِ کامل‌شدن یک دراو کافی نیست؛ دستِ بهترِ حریف، تساوی و دامنهٔ دست‌های او می‌توانند نتیجه را عوض کنند.
- حریف با چه دستِ ضعیف‌تری ممکن است پرداخت کند؟ اگر روی میز کارتی بیاید که احتمال ساخته‌شدن استریت یا فلاش را به حریف نشان دهد، ممکن است او کمتر پرداخت کند. برچسبی مثل «بازیکن شُل» به‌تنهایی اندازه و دفعاتِ پرداخت را مشخص نمی‌کند.
- کدام بردها بدون دریافت اضافه تمام می‌شوند؟ در بعضی بردها، دست با چک‌دادن دو طرف تمام می‌شود یا حریف در برابر شرط شما فولد می‌کند؛ ممکن است او دستی نداشته باشد که با آن ادامه دهد. این بردهای بدون دریافتِ اضافه هم باید در میانگین بمانند.
- آیا ادامه هزینه دارد؟ کال فلاپ لزوماً به معنی دیدن رایگان ریور نیست. هزینهٔ دیدن کارت بعدی و باخت‌های بعد از بهبود را جدا حساب کنید.
اگر فرضِ پرداخت آینده را نمی‌توانید توجیه کنید، یک عددِ دلخواه جای آن نگذارید. چند سناریوی خوش‌بینانه و محتاطانه را برای یک دست تمام‌شده مقایسه کنید و مشخص کنید کدام اطلاعات را مشاهده کرده‌اید و کدام را برآورد کرده‌اید. ریک و تساوی در حساب واقعی می‌توانند نتیجه را تغییر دهند؛ در تورنمنت نیز ارزشِ ژتون با ارزشِ جایزه یکی نیست.
سه تمرین با دلیل پاسخ
پاسخ‌ها بر پایهٔ همان فرض‌های عددیِ درس‌اند، نه توصیهٔ حرکت در یک دست واقعی.
۱. در مثال درس، پات نهایی ۱۸۰ ژتون است؛ نتیجهٔ خالص از لحظهٔ تصمیم برای کال چند ژتون است؟
۱۲۰ ژتون. از لحظهٔ تصمیم، ۲۰ ژتون کال و ۴۰ ژتون پرداخت بعدی داشته‌اید. پس ۱۸۰ منهای ۶۰ برابر ۱۲۰ است. ژتون‌های خودتان که همراه پات برمی‌گردند، سود اضافه نیستند.
۲. در نیمی از بردها ۸۰ ژتون دیگر می‌گیرید و در نیم دیگر هیچ؛ میانگین دریافتِ اضافه به‌ازای هر برد چقدر است؟
۴۰ ژتون به‌ازای هر برد؛ نه ۸۰. حالت‌های بدون پرداخت هم در میانگین هستند. با احتمال برد فرضیِ ۱۵٪، سهم این دریافت در میانگین همهٔ نتیجه‌ها ۶ ژتون است. ۴۰ برای هر برد محاسبه شده و ۶ برای همهٔ نتیجه‌ها؛ نباید این دو میانگین را جای هم گذاشت.
۳. اگر پس از کال فقط ۲۵ ژتونِ مؤثر باقی بماند، آیا این مثال با پرداخت آینده سربه‌سر می‌شود؟
نه، در همین مدل ساده. برای سربه‌سرشدن به میانگین ۳۳ و یک‌سوم ژتون از حریف در بردها نیاز داریم، اما سقفِ دریافت ۲۵ است. حتی اگر در تک‌تک بردها تمام ۲۵ ژتون را بگیریم، میانگین نتیجه هنوز منفیِ ۱٫۲۵ ژتون است.
منابع و ادامهٔ یادگیری
- پات‌آدز، ایمپلاید آدز و هزینهٔ داشتن دستِ قوی اما بازنده در PokerStars Learn (انگلیسی)، برای تمایزِ پات فعلی و پرداخت‌های بعدی.
- برآورد پرداخت آینده (انگلیسی)، برای اهمیتِ میانگین و پرهیز از فرضِ بهترین حالت.
برای مرور مبنا، به پات‌آدز و هزینهٔ کال و استک مؤثر برگردید. این مثال‌ها را پس از پایان دست مطالعه کنید؛ به حساب کاربری یا واردکردن اطلاعاتِ دستِ در حال بازی نیازی نیست. این آموزش تضمین نتیجه یا توصیه به بازی نیست.